积分中值定理证明

定理叙述

设想一个连续函数\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a, b\rbrack\)上舞动，那么必然存在一个神秘的点\(\xi\)在这个区间内，使得：

\(\int_a^b f(x) \, dx\)的神秘魔力与\(f(\xi)\)在\((b-a)\)的范围内相匹配。

证明之旅

1. 最值定理的魔力

由于\(f(x)\)在闭区间\(\lbrack a, b\rbrack\)上连续，根据最值定理，我们知道在这段旅程中，函数会达到最低点\(m\)和最高点\(M\)。换句话说，对于区间内的任何\(x\)，都有\(m \leq f(x) \leq M\)。

2. 积分的排序

对上面的不等式进行积分，我们得到：\(m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a)\)。当我们把这个结果除以\((b-a)\)，得到新的不等式：\(m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \leq M\)。

3. 介值定理的奇迹

介值定理告诉我们，在闭区间上，连续函数可以取到介于其最大值和最小值之间的任何值。必然存在一个\(\xi\)在\(\lbrack a, b\rbrack\)内，使得\(f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\)。换句话说，函数的某个特定点的值与整个区间上的积分平均值相同。

补充说明

特殊情境处理：当\(m = M\)时，函数\(f(x)\)变得单调，如同一潭静止的水，此时在\(\lbrack a, b\rbrack\)内的任何\(\xi\)都满足我们的定理。

推广形式：如果有一个连续函数\(g(x)\)在\(\lbrack a, b\rbrack\)上也是非负的或者非正的，并且与\(f(x)\)相乘，那么存在一个\(\xi\)使得\(\int_a^b f(x)g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx\)。这个定理的证明与上述步骤类似，依赖于最值定理和积分的保序性。

关键定理依赖

这个定理的根基建立在两个关键定理之上：最值定理和介值定理。最值定理告诉我们连续函数在闭区间上必有极值，而介值定理确保连续函数可以在这个区间内取到任何介于其最大值和最小值之间的数值。这两个定理共同构建了上述定理的稳固基石。