分部积分公式

一、基础公式与推导

在微积分中，分部积分法是一种重要的计算技巧。其基本形式如下：

1. 不定积分形式：

对于乘积法则 (u×v)'=u'×v+u×v'，对其两边进行积分，我们有：

∫ u'v dx = uv + ∫ uv' dx

这可以简化为：

∫ v du = uv 和 ∫ u dv = uv（这里的积分符号∫省略以简化表达）

2. 定积分形式：

在区间 [a,b] 上的定积分表达式为：

∫a到b u dv = uv 在 b 的值 - uv 在 a 的值 （记作 [uv]_a^b）以及相应的对于 v du 的积分。

二、应用步骤详解

分部积分的实际应用步骤如下：

1. 选择u和dv：将被积函数拆分为两部分。通常选择多项式、对数函数等易求导后简化的函数为u，剩余部分（如三角函数、指数函数等易积分部分）作为dv。

2. 计算du和v：对u求导得到du，对dv积分得到v。

3. 代入公式计算：将u、v、du、dv代入分部积分公式，简化求解。

三、典型应用案例分析

让我们通过两个典型例子来展示分部积分的实际应用：

1. ∫ x cos x dx：设u = x，dv = cos x dx，则du = dx，v = sin x。代入公式得到：x sin x + ∫ sin x dx = x sin x - cos x + C（其中C为常数）。

2. ∫ ln x dx：设u = ln x，dv = dx，则du = 1/x dx，v = x。代入公式得到：x ln x + ∫ 1 dx = x ln x + x + C。

四、选择u和dv的技巧

在选择u和dv时，可以遵循以下技巧：

1. 优先顺序：按多项式函数、对数函数、反三角函数、指数函数、三角函数的顺序选择u。对于某些特定类型的问题，如形如∫ x^n sin x dx 或 ∫ x^n e^x dx 的问题，通常设u = x^n；对于形如∫ x^n ln x dx 的问题，设u = ln x等。通过选择合适的基础函数作为u，我们可以简化积分的求解过程。还需要注意选择易于积分和求导的函数作为dv的部分。这有助于简化计算过程并得出准确的积分结果。在进行分部积分时，有时需要多次应用该方法直到积分简化到可求解的形式。因此在实际应用中需要根据具体情况灵活选择和使用分部积分法。此外在定积分中还需要特别注意上下限代入后的值以避免计算错误或遗漏重要信息。通过不断练习和深入理解分部积分的原理和应用技巧我们可以更好地掌握这一重要的数学工具并应用于解决实际问题中。